规律和性质_曹揖鼓同学数学作业《规律和性质》解题方法_数学_曹揖鼓
编辑： admin 2017-25-06
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规律和性质导读：
这道数学作业题来自曹揖鼓同学的作业解题方法分享《规律和性质》，指导老师是凌老师，涉及到的数学知识点概括为：数列的规律和性质，同学们可以通过学习规律和性质：数列的规律和性质的相关数学知识来提升自己的数学作业解题能力，只有掌握了这些数学知识能力，才能让自己的数学解题能力提升，也才会在数学考试中取得良好的成绩，下面是曹揖鼓数学作业的详细总结概括分享（本道题以问答模式展开）。
题目：数列的规律和性质
以等差数列为例 1．概念性质,系统掌握.规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
｛an｝是等差数列 an－an-1＝d（n≥2,n∈N+d为同一常数）.从逻辑的角度看上述命题是一个“且”命题,即：a2－a1 ＝ a3－a2＝…＝an－an-1＝d（n个等号同时成立）,如：1,3,a,b,c是等差数列,则a＝5且b＝7且c＝9；1,3,a,7,c不是等差数列则a≠5或c≠9.此外｛an ｝是等差数列 an＝pn＋q（p、q为常数,n∈N+ 以下脚马同） 2an+1＝an＋an+2 Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）；｛an｝,｛bn｝为等差数列 ｛pan＋q bn｝为等差数列（p、q为常数）规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
通项公式：an＝a1＋（n－1）d以及求和公式：Sn＝（a1＋an）n／2 、Sn＝n a1＋n（n－1）d／2＝dn2／2＋（a1－d/2）n＝A n2＋Bn,不仅要理解公式的内涵、能熟练运用,而且要从公式的推导过程中获取规律性的思维方法.2．通法通则,烂熟于胸规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
通项、求和公式中涉及五个量(a1 、d、an、n 、Sn)通过解方程“知三可以求二” ,事实上很多问题通过转化为a1 、d便迎刃而解.a1 、d是等差数列的两个基本量.例1：在等差数列｛an｝中,ap＝q ,aq＝p ,求 a（p+q）?依题意得：a1＋（p－1）d＝q d＝－1 a1＋（q－1）d＝p ∴ a1＝p＋q－1 ∴a（p+q）＝0 3．交汇函数,认清本质规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
（1）an＝f（n）＝pn＋q图象是直线上的离散点集,两条件（如 a5,a10）等差数列即可确定.（2）Sn＝dn2／2＋（a1－d/2）n的图象(d≠0时)是过原点的抛物线上的离散点集,由于过（0,0）,只要给出两个条件（如 S5、,S10）就可确定等差数列.例2：等差数列｛an｝中,3 a5＝7 a10 且a1＜0,则前n项和Sn最小的是（ （A）S7或S8（B）S13 （C）S12 （D）S15 3（a1＋4d）＝7（an＋9d） ∴d＝（-4 a1）/51＞0 Sn＝（-2 a1）n2/51＋（53 a1n）/51 对称轴＝53/4＝13.25∵|13-13.25| ＜|14-13.25| ∴ S13 最小 4．技巧方法,广泛迁移 优良的思维品质表现为能用最明确最简单的方式,了解和解决问题.首先,减少运算量,掌握下列公式十分有益：（1）an＝am＋（n－m）d （2）若m＋n＝p＋q 则 an＋am＝ap＋aq （3）2 am ＝a1＋a2m－1 （4）Sm ,S2m －Sm ,S3m －S2m 成等差数列 例3:｛an｝是等差数列,S11＝33,则a6＝?若a6＝3,则S11＝?S11＝33 11（a11＋a1）／2 ＝33 a11＋a1＝6 2 a6＝6 a6＝3 此外,还有思想方法的迁移,在公式的推导过程中隐含着下列思维方法：累差法 倒序相加法 迭代法规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
a2－a1＝d a3－a2＝d ……+ ）an－an-1＝d an－a1＝（n-1）d Sn＝ a1＋a2＋…＋an-1＋anSn＝ an＋an-1＋…＋a2＋a12 Sn＝n〔（a1＋an）＋…＋ （an＋a1）〕Sn＝ n（a1＋an）／2 an ＝an-1＋d ＝an-2＋2d ＝an-3＋3d …… ＝a1＋（n-1）d 例4：已知数列｛an｝的首项a1＝0,an+1＝an＋（2n+1）求｛an｝的通项公式.规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
∵a2－a1 ＝2×1＋1＝3,a3－a2 ＝2×2＋1＝5,a4－a3 ＝2×3＋1＝7,… ,an－an-1 ＝2×（n－1）＋1＝2n－1 ∴ an－a1 ＝n2－1 又∵a1 ＝0 ∴an ＝n2－1规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
此数列虽不是等差数列,但相邻两项的差却是等差数列（奇数列）,类比等差数列求和时使用的累差法便可求出通项公式.互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 数列的性质2）若m＋n＝p＋q则an＋am＝ap＋aq（3）2am＝a1＋a2m－1（4）Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等差数列Sm+n=Sm+q^mSn这些性质怎么证明的.在等差数列（An)中,若Sm=n,Sn=m(Sn为前n项和）,且m不等[数学科目]
若m＋n＝p＋q 则 an＋am＝ap＋aq 证明：已知｛An｝是等差数列,则设首项为a1,公差为d.等式右边：Am+An=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d; 同理可推出左边：Ap+Aq=2a1+(p+q-2)d; 又m+n=p+q;a1,d均为常数,故右边=左边,题设成立.ps:这是等差数列的一个特性（当然m,n,p,q都应是大于等于1的自然数）,教科书上应该有的.相似的等比数列也有,不过结论变成：Am*An=Ap*AqSm ,S2m －Sm ,S3m －S2m 成等差数列 Sm+n=Sm+q^mSn 令m=k ,k=1,2,3,4...bk=S(k+1)m-Skm,规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
则bk=（a1)(1-q^m)q^(km)/(1-q),同理可以得到b（k+1）和b（k+2）,易得(bk)b(k+2)=[b（k+1）]^2,即证明了数列{bk}是等比数列,也容易求出其公比是q^m,也就证明了S2m-Sm,S3m-S2m…仍然成等比数列,且公比为q^m 再验证一下Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比,且公比为q^m完成证明了Sm+n=a1*(q^(m+n)-1)/(q-1) Sm=a1(q^m-1)/(q-1) Sn=a1(q^n-1)/(q-1) Sm+q^mSn=a1(q^m-1)/(q-1)+a1q^m(q^n-1)/(q-1) =a1/(q-1)*(q^m-1+q^m*q^n-q^m) =a1/(q-1)*(q^(m+n)-1) 所以：Sm+n=Sm+(q^m)*Sn设an=a+nd,d为公差 (1) Sm=am+dm(m+1)/2=n Sn=an+dn(n+1)/2=m d=-(2m+2n)/mn a=(m^2+n^2+mn+m+n)/mn 所以Sm+n =(m+n)a+d(m+n)(m+n+1)/2 =-m-n 3）2 am ＝a1＋a2m－1 就这个不太懂,希望高人指点···规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
Sm=am+dm(m+1)/2对的题2： 等和数列的性质?[数学科目]
定义：对一个数列,如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等,我们就把此数列叫做等和数列性质：必定是循环数列证明：对任意正整数n,有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k,规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
所以对任意正整数n,an = an+k,如果这个数列有n+k项的话.题3： 【数列的所有性质】[数学科目]
自己拿参考书看,数列几种常用的方法,错项相交最重要,考试很会考题4： 数列的全部性质告诉一下?[数学科目]
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示.等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项.且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.和＝（首项＋末项）*项数÷2项数＝（末项-首项）÷公差＋1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项项数=(末项－首项）/公差＋1规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,这个数列就叫做等比数列(geometric progression).这个常数叫做等比数列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示(q≠0).注：q=1时,an为常数列. （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）等比数列通式规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点. （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)等比数列求和公式规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
(前提：q≠ 1) 任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)；在运用等比数列的前n相和时,一定要注意讨论公比q是否为1. （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项. 记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的. 等比中项定义：从第二项起,每一项（有穷数列和末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中 项. 等比中项公式：An/An-1=An+1/An或者(An-1)(An+1)=An^2 （5）无穷递缩等比数列各项和公式： 无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列,当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和. (6)由等比数列组成的新的等比数列的公比： {an}是公比为q的等比数列 1.若A=a1+a2+……+an B=an+1+……+a2n C=a2n+1+……a3n 则,A、B、C构成新的等比数列,公比Q=q^n 2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2 B=a2+a5+a8+……+a3n-1 C=a3+a6+a9+……+a3n 则,A、B、C构成新的等比数列,公比Q=q编辑本段性质规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
(1)若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq； (2)在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列. (3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. (4)若{an}是等比数列,公比为q1,{bn}也是等比数列,公比是q2,则 {a2n},{a3n}…是等比数列,公比为q1^2,q1^3… {can},c是常数,{an*bn},{an/bn}是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2. （5）等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比. （6）若（an）为等比数列且各项为正,公比为q,则（log以a为底an的对数）成等差,公差为log以a为底q的对数. (7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) (8) 数列{An}是等比数列,An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列, 在等比数列中,首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方. (9)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列.编辑本段求通项公式的方法规律和性质：逆火学习站的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
（1）待定系数法：已知a（n+1）=2an+3,a1=1,求an 构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x） a（n+1）=2an+x,∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3 所以（a（n+1）+3）/（an+3）=2 ∴{an+3}为首项为4,公比为2的等比数列,所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3题5： 【数列性质】[数学科目]
a(n+1)-an=2nan-a(n-1) = 2(n-1)an -a1 = 2+4+6+...+2(n-1)= n(n-1)an =n(n-1) +33an/n = n-1 + 33/nletf(x) = x-1 +33/xf'(x) = 1 -33/x^2=0x^2-33=0x=5.74a5/5 = 5-1+33/5 = 53/5a6/6 = 6-1 +33/6 = 63/6 = 21/2规律和性质：逆火学习站(img1.72589.com)的曹揖鼓同学的作业题：《数列的规律和性质》解题思路
规律和性质小结：
通过以上关于曹揖鼓同学对规律和性质：数列的规律和性质的概括总结详细分享，相信同学们已经对规律和性质的相关数学作业知识一定有所收获吧。建议同学们要学会归纳总结，仔细揣摩曹揖鼓同学分享的解答《数列的规律和性质》这道作业题的重点部分，他山之石，可以攻玉，考才获胜。