海伦公式的推导_花峙傲同学数学作业《海伦公式的推导》解题方法_数学_花峙傲
编辑： admin 2017-25-06
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海伦公式的推导导读：
这道数学作业题来自花峙傲同学的作业解题方法分享《海伦公式的推导》，指导老师是穆老师，涉及到的数学知识点概括为：海伦公式的推导过程？，同学们可以通过学习海伦公式的推导：海伦公式的推导过程？的相关数学知识来提升自己的数学作业解题能力，只有掌握了这些数学知识能力，才能让自己的数学解题能力提升，也才会在数学考试中取得良好的成绩，下面是花峙傲数学作业的详细总结概括分享（本道题以问答模式展开）。
题目：海伦公式的推导过程？
证明:海伦公式:若ΔABC的三边长为a.b.c.则海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4(这是海伦公式的变形.[负号[-"从a左则向右经过a.b.c".负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期!我觉得这么记更简单.还设个什么l=(a+b=c)/2啊.多此一举!)证明:设边c上的高为 h.则有√(a＾2-h＾2)+√(b＾2-h＾2)=c√(a＾2-h＾2)=c-√(b＾2-h＾2)两边平方.化简得:2c√(b＾2-h＾2)=b＾2+c＾2-a＾2两边平方.化简得:h=√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))SΔABC=ch/2=c√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))/2仔细化简一下.得:SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4用三角函数证明!证明:SΔABC=absinC/2=ab√(1-(cosC)＾2)/2----(1)∵cosC=(a＾2+b＾2-c＾2)/(2ab)∴代入(1)式.(仔细)化简得:海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 海伦公式的推导过程?三角形面积公式[数学科目]
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]题2： 海伦公式的推导[数学科目]
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式.比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案. 证明（1）：海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）：海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”.它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事.所以他们想到了三角形的三条边.如果这样做求三角形的面积也就方便多了.但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”.海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.“术”即方法.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个.相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积. 所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,Q为“实”.以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P＝1时,△ 2＝q, S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 因式分解得 1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得： S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”.S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a. 根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算.如下题：已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边）代入解得s=8√ 3海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则 S△ABC = aha= ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中,S△ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载. 海伦公式在解题中有十分重要的应用. 一、 海伦公式的变形 S= = ① = ② = ③ = ④ = ⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式. 证明：如图ha⊥BC,根据勾股定理,得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④,故得证. 证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha. 斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D, 若BD=u,DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知,u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤,故得证. 证三：余弦定理 分析：由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明. 证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证. 证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式. 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图,tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式,得： + + = ①②③代入,得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④,得： r 2 · = 两边同乘以 ,得： r 2 · = 两边开方,得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证. 证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz ∵由证一,x = = －c = p－c y = = －a = p－a z = = －b = p－b ∴ r3 = ∴ r = ∴S△ABC = r·p = 故得证. 三、 海伦公式的推广海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广.由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形= 现根据猜想进行证明. 证明：如图,延长DA,CB交于点E. 设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴ = = = 解得： e = ① f = ② 由于S四边形ABCD = S△EAB 将①,②跟b = 代入公式变形④,得： ∴S四边形ABCD = 所以,海伦公式的推广得证. 四、 海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事半功倍. 例题：如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求：四边形可能为等腰梯形. 设BC = x 由海伦公式的推广,得： (4－x)(2＋x)2 =27 x4－12x2－16x＋27 = 0 x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0 (x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 当x = 1时,AD = BC = 1海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
∴ 四边形可能为等腰梯形.题3： 海伦公式怎么推导[数学科目]
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2）/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√（1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]题4： 如何推导海伦公式[数学科目]
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]题5： 海伦公式如何导出
福建省永泰县县政府打着建设海西的旗号,以低价（①耕地：29796元/亩；②果园地和其他经济林地：10232元/亩；③非经济林地：8500元/亩）强行征用永泰县葛领镇赤壁村3000多亩良田和蔬菜基地.再以高价15万元/亩转卖给冠城大通盖房地产.村民们根据科学种菜,平均亩年产值达一般可以达到2--3万元人民币,为生计不愿意并阻止,就被以扰乱治安罪抓起来.勾结黑帮混混强行砍掉村民辛苦种植多年的果树.县长们还嚣张的扬言我们农民是告不到他们的.天理何在呀?请为赤壁村一千多村民生存出路做主呀.给我们指条活路吧!海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
农民们并不反对政府开发,加速改善家乡面貌,但谁来考虑征地拆迁后的村民生活安置.县政府强硬的态度,拿什么（闽政文【2005】592号）文件得出年亩产1140多元.跟农民现在菜地年收入两三万相差20倍；按这个标准来征地是对农民的不负责任,跟强盗的行为有何区别,更有甚者县政府通过镇政府、村委会就层层施压,对于村里有子女是县里公务员或教师的,就威胁说：不同意就整他们的子女或调到偏远的地方去.一些村民迫于无奈不得以签字了.这种以牺牲村民的利益,赤裸裸剥夺村民们养家糊口的田地的做法实在太可恨了.3000多亩的土地征用房屋拆迁；自然有相关政府审批,农民们只希望补偿合理,得到实惠.国务院刚下达精神提到,征地、拆迁后的农民生活要比之前更好.按目前这种赔偿方式,村民们连以后的生活都没有了保障,还有子女教育,卫生医疗养老等更别想指望了.海伦公式的推导：逆火学习站的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
在10月20日当地政府与农民达不成共识,就借助当地黑帮混混进行强制执行,将2名村民打成重伤住院.全村农民到镇政府理论,政府却说与他们无关.海伦公式的推导：逆火学习站(img1.72589.com)的花峙傲同学的作业题：《海伦公式的推导过程？》解题思路
海伦公式的推导小结：
通过以上关于花峙傲同学对海伦公式的推导：海伦公式的推导过程？的概括总结详细分享，相信同学们已经对海伦公式的推导的相关数学作业知识一定有所收获吧。建议同学们要学会归纳总结，仔细揣摩花峙傲同学分享的解答《海伦公式的推导过程？》这道作业题的重点部分，他山之石，可以攻玉，考才获胜。