【如何证明两个群不同构】如何证明两个群不同构_化学_鼹銤躘
编辑： admin 2017-15-06
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比较两个群的性质.
例如元素的个数,正规子群的个数,阶为k的元素的个数或存在性,如果不同的话就肯定不同构.
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 如何证明：整数加群Z与有理数加群Q不同构[数学科目]
因为Z可以由1生成,Q不能有限生成,所以不同构.
假设S={p1/q1,p2/q2,……,pn/qn}为Q的生成元集,pi/qi为最简分数,则通分后令q=[q1,q2,……,qn]
S可由1/q生成,取(q,r)=1,可以断定1/r不能由1/q生成,假设不然,1/r=m/q,q=rm,所以q整除m,设m=qs,则r=1/s,这是不可能的
题2： 两个同阶群,分别是循环群和非循环群,是否一定不同构?证明之[数学科目]
设G为n阶循环群 ,H为n阶群,f:G->H为同构
则f把 G中的所有元素 e,a,a^2,...,a^(n-1) 映为H中的 e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) n个元素.由于H是n阶的,所以{ e,f(a),f(a)^2,...,f(a)^(n-1) }就是H的全部元素.于是H也是循环群,由元素f(a)生成
因此与循环群同构的群一定是循环群; 换句话说,非循环群和循环群一定不同构.
题3： 证明一元二次方程至多只能有两个不同的实根[数学科目]
反证法：
假设有三个或者三个以上的不同的实根,
证明三根是不存在的,设实根为x1,x2,x3
一元二次方程为:
ax^2+bx+c=0(a不等于0)
那么它可以表示为:
k(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0(k不等于0)
展开有三次项是:kx^3,
k不等于0
所以三次项存在,不是一元二次方程,
假设不成立,
所以一元二次方程至多只能有两个不同的实根
题4： 规模经济和范围经济的概念有什么区别?请举例对这两个概念加以说明.
规模经济是纵向上的,针对的是同一行业甚至同一个企业
范围经济更偏向横向比较,针对的是相关行业领域,肯定是不同企业之间的
就拿企业间的兼并联合来讲,要是一家造纸厂兼并了另一家因为经营不善濒临破产的造纸厂,这是规模经济；要是兼并对象是一家印刷厂,这就是范围经济.
题5： 近世代数证明:群中两个不同元素生成的子群有且仅有一个公共元素[数学科目]
反例:
三阶群F3={0,1,2},1和2都能生成F3