【什么是几何可能位移】什么是最小势能原理？在所有几何可能位移中，真实位移..._物理_拈稓晃
编辑： admin 2017-15-06
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在所有的可能位移场中,真实位移场的总势能取最小值.所以这一原理称为最小势能原理.数学描述即总势能的一阶变分为零,而且二阶变分是正定的（大于零）.
最小势能原理完整的叙述为：在所有几何可能位移中,真实位移使得总势能取最小值.该方法是以位移函数作为基本未知量求解弹性力学问题的.当然,选择的位移函数必须是在位移已知的边界上满足位移边界条件,对于面力边界是不需要考虑的,因为面力边界条件是会自动满足的.
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题1： 什么是最小势能原理?
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时,系统会处于稳定平衡状态.举个例子来说,一个小球在曲面上运动,当到达曲面的最低点位置时,系统就会趋向于稳定平衡. ? 势能最小原理与虚功原理本质上是一致的.宇宙万物,如果其势能未达到“最小”（局部概念）,它总要设法变化到其“相对”最小的势能位置.举个例子：一个物体置于高山上,它相对于地面来说有正的势能（非最小）,因而它总有向地面运动的“能力”（向地面“跃迁”）（其力学本质是其处于一种不稳平衡状态）.因此,它试图（也只有）向下运动,才能保证其达到一个相对平稳的状态. ? 最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的特殊情况.对于一般性问题：真实位移状态使结构的势能取驻值（一阶变分为零）,在线弹性问题中取最小值. 形象的说,当你在一百米高的钢丝绳上走的时候你总是希望尽早回到地上,但其实只要你不动你也是平衡的,因为驻值也可以是极大值（此时称为随遇平衡）.而当你在一百米高的大楼里的办公室里时,你并不害怕,因为周围的物体的势能均不比你小,此时驻值取的是极小值而不是最小值. 在有限元的理论中,最小势能原理是在所有满足给定边界条件的位移时,满足平衡微分方程的位移使得势能取得最小值.
题2： 如何在弹性力学中的最小势能原理的基础上发展成为有限元方法[数学科目]
试函数为许可位移场,即只需要满足位移条件,而不必满足外力条件；积分中试函数的最高阶导数较低；整个方法为计算一个全场（几何域）的积分（物理含义为整个区域的能量）；由求取积分问题的最小值（即使其势能为最小）,可将原方程的求解化为线性方程组的求解；整个方法的处理流程比较规范.
可以看出,以上的变分方法提法完全是从纯数学的角度来描述的,只是用方程、泛函（复合函数）、极值等术语来进行表达和推导,而没有考虑背后的物理含义.最小势能原理和虚功原理的提法为物理提法,它们有相应的物理量表达和物理意义.
微分形式的求解方法与积分形式的求解方法有着本质上的不同,正是引入了试函数,使得求解的难度大大降低.由于工程问题非常复杂,要求所采用的方法具有较好的规范性、较低的难度、较低的函数连续性要求、较明确的物理概念、较好的通用性.而基于最小势能原理的求解方法具有较明显的综合优势,因此,可以在该原理的基础上发展出能广泛适用于工程中任意复杂问题的求解方法,但必须处理的技术难点是：●复杂物体的几何描述,●试函数（许可位移场）的确定与选取（规范化形式）,●全场试函数的表达.
因此,在具备大规模计算能力的前提下,将复杂的几何物体等效离散为一系列的标准形状的几何体,再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建,然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组,这就是有限元方法的基本思路.
题3： 最小作用原理与最小势能原理有何异同?最小作用原理与最小势能原理有关联,通俗的说前者说的是关于宇宙相互作用经济性的问题,后者则指出其懒惰性,我想知道的是它们是否有从属关系,或[物理科目]
最小势能原理是应用在静力学中的,若不考虑摩擦和阻尼,则一个系统在势能最小的时候是稳定的.最小组用量原理则是用在一个物理系统由一个指定的状态转变到另一个指定的状态的时候,实际发生的变化过程肯定是所有可能发生的变化过程之中“路径最短”的.这两个原理考虑的物理内容不一样,没有什么从属关系或者关联性；但在数学思想上是一致的：这两个原理都可以描述为泛函的极值问题.
题4： 【最小势能原理的证明过程】[物理科目]
E机=Ek+Ep Ek=1/2mv^2 动能最大时势能最小即速度为最大值时势能最小
题5： 什么是势能驻值定理[物理科目]
势能驻值原理可表述为：在弹性体系的所有几何可能位移状态中,其真实的位移状态使总势能为驻值（可能极大、极小或者始终保持不变）.由此得到的驻值条件等价于平衡条件.但是,其平衡状态有稳定的、不稳定的和随遇平衡三种,要判别平衡状态究竟属于哪一种,就必须对总势能作进一步的研究（从严格的数学意义上说,也即是如果要研究结构变形状态是否稳定,不仅必须满足总势能的一阶变分为零,即总势能驻值的条件,而且还必须进一步考察总势能的二阶变分情况）.