【已知a是关于x的方程】已知a是正整数，如果关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-..._数学_fgdun
编辑： admin 2017-15-06
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将方程的左边分解因式,得（x-1）【x2+（a+18）x+56】=0,观察易知,方程有一个整数根x1=1,
∵a是正整数,
∴关于x的方程x2+（a+18）x+56=0（1）的判别式△=（a+18）2-224＞0,它一定有两个不同的实数根．
而原方程的根都是整数,所以方程（1）的根都是整数,因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．
设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数）,则（a+18）2-k2=224,即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同,且a+18+k≥18,而224=112×2=56×4=28×8,所以a+18+k=112 a+18-k=2或a+18+k=56 a+18-k=4或a+18+k=28 a+18-k=8解得a=39 k=55或a=12 k=26或a=0 k=10
而a是正整数,所以只可能a=39 k=55或a=12 k=26.
当a=39时,方程（1）即x2+57x+56=0,它的两根分别为-1和-56．此时原方程的三个根为1,-1和-56．
当a=12时,方程（1）即x2+30x+56=0,它的两根分别为-2和-28．此时原方程的三个根为1,-2和-28
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题1： 已知a是正整数,如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数,求a的值及方程的整数根．解题思路中设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数）,k为什么是非负整数?[数学科目]
将方程的左边分解因式,得（x-1）【x2+（a+18）x+56】=0,观察易知,方程有一个整数根x1=1,
∵a是正整数,
∴关于x的方程x2+（a+18）x+56=0（1）的判别式△=（a+18）2-224＞0,它一定有两个不同的实数根．
而原方程的根都是整数,所以方程（1）的根都是整数,因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．
设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数）,则（a+18）2-k2=224,即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同,且a+18+k≥18,而224=112×2=56×4=28×8,所以a+18+k=112 a+18-k=2或a+18+k=56 a+18-k=4或a+18+k=28 a+18-k=8解得a=39 k=55或a=12 k=26或a=0 k=10
而a是正整数,所以只可能a=39 k=55或a=12 k=26.
当a=39时,方程（1）即x2+57x+56=0,它的两根分别为-1和-56．此时原方程的三个根为1,-1和-56．
当a=12时,方程（1）即x2+30x+56=0,它的两根分别为-2和-28．此时原方程的三个根为1,-2和-28
题2： 已知a为正整数,如果关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0的根都是正整数,求a的值及方程的整数根,注:x3是x的3次方x2是x的2次方,[数学科目]
因为根都是正整数,设为X1;X2;X3.则有
(X-X1)(X-X2)(X-X3)=0
即X*X*X-(X1+X2+X3)X*X+(X1X2+X2X3+X3X1)X-X1X2X3=0
又因为x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0,则有
-（X1+X2+X3）=a+17①
X1X2+X2X3+X3X1=38-a②
X1X2X3=56③
-①-②+③,得
X1+X2+X3-（X1X2+X2X3+X3X1）+X1X2X3=1
(X1-1)(X2-1)(X3-1)+1=1
(X1-1)(X2-1)(X3-1)=0④
可见,必定有一个根为1.
又因为X1X2X3=56=1*2*28=1*4*14=1*8*7=1*56*1；
所以a=-48,X的根为1,2,28
或者a=-36,X的根为1,4,14
或者a=-33,X的根为1,8,7
或者a=-75,X的根为1,56,1.
题3： 已知a是正整数,如果x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56的根都是整数,求a的值及方和的整数根[数学科目]
x+(a+17)x+(38-a)x-56=0 x+ax+17x+38x-ax-56=0(ax-ax) + (x-x) +(x+17x-18x) +(18x+38x-56)=0ax*(x-1)+x(x-1)+18x(x-1)+56(x-1)=0(x-1)*(x+ax+18x+56)=0所以:x1=1x2+x3=-a-18x2x3=56当:x2=1时,X3=56,a=-75当:x2=-1时,X3=-56,a=39当:x2=7时,X3=8,a=-33当:x2=-7时,X3=-8,a=-3当:x2=2时,X3=28,a=-48当:x2=-2时,X3=-28,a=12当:x2=4时,X3=14,a=-36当:x2=-4时,X3=-14,a=0a是正整数所以:a的值及方程的整数根如下:a=39 X=(1,-1,-56)a=12 X=(1,-2,-28)
题4： 已知a是正整数,如果关于x方程x³+(a+17)x²+(38-a)x-56=0的根都是整数,求a的值及方程的整数根.[数学科目]
x³+(a+17)x²+(38-a)x-56=0
x³+ax²+17x²+38x-ax-56=0
(ax²-ax) + (x³-x²) +(x²+17x²-18x) +(18x+38x-56)=0
ax*(x-1)+x²(x-1)+18x(x-1)+56(x-1)=0
(x-1)*(x²+ax+18x+56)=0
所以:x1=1
x2+x3=-a-18
x2x3=56
当:x2=1时,X3=56,a=-75
当:x2=-1时,X3=-56,a=39
当:x2=7时,X3=8,a=-33
当:x2=-7时,X3=-8,a=-3
当:x2=2时,X3=28,a=-48
当:x2=-2时,X3=-28,a=12
当:x2=4时,X3=14,a=-36
当:x2=-4时,X3=-14,a=0
即:a的值及方程的整数根如下:
a=-75 X=(1,1,56)
a=39 X=(1,-1,-56)
a=-33 X=(1,7,8)
a=-3 X=(1,-7,-8)
a=-48 X=(1,2,28)
a=12 X=(1,-2,-28)
a=-36 X=(1,4,14)
a=0 X=(1,-4,-14)
题5： 【如果关于x的方程x^2+(a+18)x+56=0的根都是整数,那么正整数a=___________】[数学科目]
x1x2=56
x1+x2=-a-18