【如何证明一致估计】怎么证明样本方差是一致统计量？_数学_dudayixiu6335
编辑： admin 2017-15-06
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要证样本方差是总体方差的一致估计量,即要证样本方差Sn依概率收敛于总体方差
首先我们知道样本方差是总体方差的无偏估计量：ESn=σ^2
然后根据切比雪夫不等式,有P(|Sn-ESn|>=ε)=ε)趋向于0,对任意ε.将ESn=σ^2代入即得结论.
其他同学给出的参考思路：
由一致性定义的推论，只要证明样本方差的方差的极限趋于零。而又知道 (n-1)S^2 / o^2（这个o是总体正态的方差，打不出西格玛） ~ X^2(n-1)，于是可以知道 S^2 的方差为 2o^4 / (n-1) 趋近于零，于是一致。
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 【如何证明样本方差的期望等于总体方差】[数学科目]
设总体为X,抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn,其样本均值为
Y = (X1+X2+...+Xn)/n
其样本方差为
S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ...+ (Y-Xn)^2 ) / (n-1)
为了记号方便,我们只看S的分子部分,设为A
则 E A =E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2))
=E( (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )
注意 EX1 = EX2 = ...= EXn = EY = EX;
VarX1 = VarX2 = ...= VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2
VarY = VarX / n (这条不是明显的,但是可以展开后很容易地证出来,而且也算是一个常识性的结论）
所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)
= n(VarX + (EX)^2) - n * (VarX/n + (EX)^2)
= (n-1) VarX
所以 E S = VarX;得证.
题2： 试说明如果一个样本方差等于0那么这个样本中的数据一定相等[数学科目]
设样本是x1,x2,...,xn
则平均数p=(x1+x2+..+xn)/n
方差s=(x1-p)^2+(x2-p)^2+...+(xn-p)^2
s=0,且(x1-p)^2≥0,(x2-p)^2≥0,...,(xn-p)^2≥0
则(x1-p)^2=0,(x2-p)^2=0,...,(xn-p)^2=0
则x1=x2=..=xn=p
则样本数据相等
题3： 怎么用mathematica求统计量的样本均值和样本方差?用什么命令?[数学科目]
data = {1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,2,3,4};
平均数
Mean[data]
标准差
StandardDeviation[data]
方差
Variance[data]
题4： 怎么证明样本方差是总体方差的无偏估计[数学科目]
n-1的由来——样本方差无偏估计证明推导公式,样本方差与自由度
证明S2(x)=1/(n-1)∑[xi-E(x)]2为var2(x)的无偏估计
需证明E(S2)=var2(x)
∑[xi-E(x)]2=∑[xi-1/n∑xj]2,∑条件为j=1→n
=1/n2∑[(n-1)xi-∑xj]2,∑条件为j=1→n且j≠i
=1/n2∑[(n-1)2xi2-2(n-1)∑(xi xj)+ ∑xj2+2∑xj xz],∑条件为j=1→n,z=1→n,且j≠z≠i
E∑[xi-E(x)]2=1/n2∑[(n-1)2 E(xi2)-2(n-1)∑E (xixj)+ ∑E (xj2)+2∑E(xjxz)],
知抽样样本相互独立E (xixj)=E(xi)E(xj),且var(x)= E(x2)- E(x)2,且∑有n项,∑有n项,∑有n-1项,∑有(n-1)(n-2)/2项
E∑[x-E(x)]2=1/n2∑[(n-1)2E(xi2)-2(n-1)(n-1)E(x)2+(n-1)E(xj2)+(n-1)(n-2)E(x)2],
=1/n2∑[(n-1)2 var2(x)+ (n-1) var2(x)],
=1/n2 * n *[(n-1)2 var2(x)+ (n-1) var2(x)]
=(n-1) var2(x)
所以E(S2)=var2(x)
自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时,样本中独立或能自由变化的数据的个数称为该统计量的自由度.如果E(x)为一常数u,那么 var2(x)=1/n∑(x-u)2 .抽样样本方差估计中 E(x)由样本本身确定.当平均数的值和其中n-1个数据的值已知时,另一个数据的值就不能自由变化了,因此样本方差无偏估计的自由度为n-1.
题5： 【当总体为正态分布且方差已知时,用样本均值来检验时统计量是】[数学科目]
检验时统计量：Z=(均值-μ0)/(σ/根号n)