【直线ab是线段bd】...直线AC平行BD，连结AB，直线AC.BD及线段AB把平面分..._数学_倿雾
编辑： admin 2017-15-06
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如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时,求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
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分析：（1）如图1延长BP交直线AC于点E,由AC∥BD,可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA,可知∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）过点P作AC的平行线,根据平行线的性质解答；
（3）根据P的不同位置,分三种情况讨论．
（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．
∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD．
∵∠APB=∠PAE+∠PEA,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；
解法二：如图2
过点P作FP∥AC,
∴∠PAC=∠APF．
∵AC∥BD,∴FP∥BD．
∴∠FPB=∠PBD．
∴∠APB=∠APF+∠FPB
=∠PAC+∠PBD；
解法三：如图3,
∵AC∥BD,
∴∠CAB+∠ABD=180°,
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）不成立．
（3）（a）
当动点P在射线BA的右侧时,结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB．
（b）当动点P在射线BA上,
结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°,
∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．
（c）当动点P在射线BA的左侧时,
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．
选择（a）证明：
如图4,连接PA,连接PB交AC于M．
∵AC∥BD,
∴∠PMC=∠PBD．
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
选择（b）证明：如图5
∵点P在射线BA上,∴∠APB=0度．
∵AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC．
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD．
选择（c）证明：
如图6,连接PA,连接PB交AC于F
∵AC∥BD,∴∠PFA=∠PBD．
∵∠PAC=∠APF+∠PFA,
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
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其他同学给出的参考思路：
如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
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分析：（1）如图1延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；
（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．
（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．
∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．
∵∠APB=∠PAE+∠PEA，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；
解法二：如图2
过点P作FP∥AC，
∴∠PAC=∠APF．
∵AC∥BD，∴FP∥BD．
∴∠FPB=∠PBD．
∴∠APB=∠APF+∠FPB
=∠PAC+∠PBD；
解法三：如图3，
∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）不成立．
（3）（a）
当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB．
（b）当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，
∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．
（c）当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．
选择（a）证明：
如图4，连接PA，连接PB交AC于M．
∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD．
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
选择（b）证明：如图5
∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．
∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．
选择（c）证明：
如图6，连接PA，连接PB交AC于F
∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．
∵∠PAC=∠APF+∠PFA，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
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互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 【28.如图,直线AC∥BD,连结AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连结PA、PB,构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角.（题示：有】[数学科目]
1、证明：过点P作PE∥AC交AB于E
∵PE∥AC
∴∠PAC＝∠APE
∵AC∥BD
∴PE∥BD
∴∠PBD＝∠BPE
∵∠APB＝∠APE+∠BPE
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD
2、
∠PAC+∠PBD+∠APB＝360
3、
∠PBD-∠PAC＝∠APB
题2： 【如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角．（提示：有公共】[数学科目]
1.过点P作直线AC的平行线（如图）,易知∠1=∠PAC,∠2=∠PBD,
又∵∠APB=∠1+∠2,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．
2.不成立．
过点P作AC的平行线PQ,∠APB=∠1+∠2,
∵直线AC∥BD,
∴∠PAC+∠1=180°,∠PBD+∠2=180°,
∴∠PAC+∠1+∠PBD+∠2=360°,
故∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．（
3.设射线BA将区域③分成Ⅰ、Ⅱ两部分（如左图）,
①若点P位于第Ⅰ部分（如中图）,则∠PBD=∠3,∠PAC+∠APB=∠3,
所以∠APB=∠PBD-∠PAC,
②若点P位于第Ⅱ部分（如右图）,则∠PBD=∠6+∠ABD,∠PAC=∠4+∠5,∠ABD=∠5,
∴∠PAC-∠PBD=∠4-∠6,
而∠6+∠APB=∠4,
∴∠APB=∠PAC-∠PBD．
③P落在射线BA上时,∠PAC=∠PBD,∠APB=0°．
解析:
1.过点P作AC的平行线,根据平行线的性质将∠PAC,∠PBD等量转化,证出结论．
2.过点P作AC的平行线PQ,∠APB=∠APQ+∠QPB,∠PAC与∠APQ是一对同旁内角,∠QPB与∠PBD也是一对同旁内角,根据两直线平行,同旁内角互补,发现三个角的和是360度．
3.根据BA的延长线上,或两侧分别解答．
题3： 【如图,直线AC平行BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面…帮派：龙华帮派号：719596我帮急招人!大家帮帮助!】
如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角） （1）当动点P落在第①部分时,求证：∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?（直接回答成立或不成立） （3）当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明． ---- 分析：（1）如图1延长BP交直线AC于点E,由AC∥BD,可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA,可知∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）过点P作AC的平行线,根据平行线的性质解答； （3）根据P的不同位置,分三种情况讨论． （1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E． ∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD． ∵∠APB=∠PAE+∠PEA, ∴∠APB=∠PAC+∠PBD； 解法二：如图2 过点P作FP∥AC, ∴∠PAC=∠APF． ∵AC∥BD,∴FP∥BD． ∴∠FPB=∠PBD． ∴∠APB=∠APF+∠FPB =∠PAC+∠PBD； 解法三：如图3, ∵AC∥BD, ∴∠CAB+∠ABD=180°, ∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°． 又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°, ∴∠APB=∠PAC+∠PBD． （2）不成立． （3）（a） 当动点P在射线BA的右侧时,结论是 ∠PBD=∠PAC+∠APB． （b）当动点P在射线BA上, 结论是∠PBD=∠PAC+∠APB． 或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°, ∠PAC=∠PBD（任写一个即可）． （c）当动点P在射线BA的左侧时, 结论是∠PAC=∠APB+∠PBD． 选择（a）证明： 如图4,连接PA,连接PB交AC于M． ∵AC∥BD, ∴∠PMC=∠PBD． 又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）, ∴∠PBD=∠PAC+∠APB． 选择（b）证明：如图5 ∵点P在射线BA上,∴∠APB=0度． ∵AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC． ∴∠PBD=∠PAC+∠APB 或∠PAC=∠PBD+∠APB 或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD． 选择（c）证明： 如图6,连接PA,连接PB交AC于F ∵AC∥BD,∴∠PFA=∠PBD． ∵∠PAC=∠APF+∠PFA, ∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
题4： 如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．[数学科目]
（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．
∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．
∵∠APB=∠PAE+∠PEA，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；
解法二：如图2
过点P作FP∥AC，
∴∠PAC=∠APF．
∵AC∥BD，∴FP∥BD．
∴∠FPB=∠PBD．
∴∠APB=∠APF+∠FPB
=∠PAC+∠PBD；
解法三：如图3，
∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）不成立．
（3）（a）
当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB．
（b）当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，
∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．
（c）当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．
选择（a）证明：
如图4，连接PA，连接PB交AC于M．
∵AC∥BD，
∴∠PMC=∠PBD．
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
选择（b）证明：如图5
∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．
∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．
选择（c）证明：
如图6，连接PA，连接PB交AC于F
∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．
∵∠PAC=∠APF+∠PFA，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
题5： 【在平面直角坐标系中,如图一,将线段AB平移至线段CD,连接AC、BD.（1）①直接写出图中相等的线段、平行】[数学科目]
AC‖BD,CD‖AB,AC＝BD,AB＝DC