【如何证明a和b等价】【设A、B为m×n矩阵，证明A与B等价的充要条件为R(A)=R..._数学_fsds0148
编辑： admin 2017-15-06
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证明：
（必要性）设A与B等价，则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的矩阵，而
初等变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（B）．
（充分性）设R（A）=R（B），则A、B的标准型都为
E
rOOO即A、B都与
E
rOOO等价，从而A与B等价．其他同学给出的参考思路：
A与B相抵，意味着二者有相同的相抵标准型，故r(A) = r(B)；反过来秩相等的矩阵相抵标准型也相同，记为Ir, 则 Ir = P1 * A * Q1 = P2 * B * Q2，故有 A = inv( P1 ) * P2 * B * Q2 * inv( P1 ) = P * B * A，其中P1, P2, Q1, Q2, P, Q均为可逆阵，因此A, B相抵。证毕
互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 设A、B为m×n矩阵，证明A与B等价的充要条件为R（A）=R（B）．[数学科目]
证明：
（必要性）设A与B等价，则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的矩阵，而
初等变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（B）．
（充分性）设R（A）=R（B），则A、B的标准型都为
E
rOOO即A、B都与
E
rOOO等价，从而A与B等价．题2： 设A、B为m×n矩阵，证明A与B等价的充要条件为R（A）=R（B）．[数学科目]
证明：
（必要性）设A与B等价，则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的矩阵，而
初等变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（B）．
（充分性）设R（A）=R（B），则A、B的标准型都为
E
rOOO即A、B都与
E
rOOO等价，从而A与B等价．题3： 设A是m*n矩阵证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E[数学科目]
充分性：
因为,R(A)=m
存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=【Em,0】
设D=【Em,0】^T,
则PAQD=Em,即AQDP=Em,
令B=QDP 即可得：AB=Em.
充分性得证.
必要性
已知：存在n*m矩阵B,使AB=E
不妨假设：对于A,存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=C=
【Er,0】
【0,0】
即R（A）＜m
A=P^(-1)CQ^(-1)
AB=P^(-1)CQ^(-1)B=E
CQ^(-1)BP^(-1)=E
因为C的后m-r行全为零,矛盾,所以R（A）=m.
必要性得证.
题4： 【证明：m*n矩阵A和B等价r(A)=r(B)谢谢】[数学科目]
任何一个矩阵都可以经过矩阵的初等变换变成对角矩阵,对角矩阵主对角线上非零元素的个数即为该矩阵的秩.
题5： 【设A为M*N矩阵,且M】[数学科目]
AA'对称显然,M*M.
正定
任意的M维非零向量x,有x'AA'x=(A'x)'(A'x)大于零.
rankA=M
注：任意的M维非零向量x,有x'AA'x=(A'x)'(A'x)大于等于零.A'x是N维向量