怎么用微积分证明球的表面积和体积公式？-微积分公式表
编辑： admin 2017-12-03
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下图提供,六种球面面积积分法,八种体积积分法.
方法尚有很多,这里只能抛砖引玉.
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类似问题
类似问题1：怎么用微积分证明球的表面积和体积公式?[数学科目]
设球的半径为R,球截面圆到球心的距离为x
则球截面圆的半径为√(R^2-x^2)
以x作球截面圆的面积函数再对其积分就是半球的体积
有dV=2(2(pi)(R^2-x^2))
对其在[0,R]积分可得V=(4/3)(pi)(r^3)
这个函数积分很简单就不写过程了.
球面积相对复杂点(在积分方面)
思想还是一样
对球截面圆的周长函数积分可得球表面积
照上面,球截面圆的周长函数为2(pi)√(R^2-x^2)
对x进行[0,R]积分得到半球表面积
即dS=4(pi)√(R^2-x^2)
对dS积分,设x=R(sin t),t=[0,pi/2]
则dS=4(pi)R(cos t)√(R^2-(R(sin t))^2) dt
=4(pi)(R^2)(cos t)^2 dt
=2(pi)(R^2)+(2(pi)(R^2)(sin 2t) dt) ,t=[0,pi/2]
则解2(pi)(R^2)(sin 2t) dt积分有2(pi)(R^2)
即得S=4(pi)(R^2)
类似问题2：请用高等数学(微积分)的知识解释:球的体积公式的导数就是球的表面积公式?[数学科目]
假设将球镀上一层非常薄的金属膜（原球半径是r,膜厚度为dr）,那么膜的体积就是V(r+dr)-V(r)=V'*dr
又由于膜非常薄,故体积=面积*dr=S*dr
所以,dV=V'*dr=S*dr
S=V
类似问题3：球的表面积与体积的计算公式
球的表面积计算公式:球的表面积=4πr^2,r为球半径 .
球的体积计算公式:V球=(4/3)πr^3,r为球半径 .
类似问题4：球的表面积和体积公式?
S=4(派)R^2
V=4/3(派)R^3
类似问题5：球的表面积计算公式 请用微积分证明一遍,[语文科目]
我今天刚复习了这道题啊.
各位兄台,就把这机会让给我吧.
同济六版,P167,例1.
你先看看,要打字出来还真是比较麻烦呢.