2010年4月11日全国初中数学联赛江西省赛区决赛试
编辑： admin 2017-25-02
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2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分,每小题7分）
1. 若 均为整数且满足 ,则 （ B ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
2．若实数 满足等式 , ,则 可能取的最大值为 （ C ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
3．若 是两个正数,且 则 （ C ）
A． . B． . C． . D． .
4．若方程 的两根也是方程 的根,则 的值为 （ A ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
5．在△ 中,已知 ,D,E分别是边AB,AC上的点,且 , , ,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数 ,将其各位数字之和记为 ,如 , ,则 （ D ）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）
1．已知实数 满足方程组 则 13 .
2．二次函数 的图象与 轴正方向交于A,B两点,与 轴正方向交于点C．已知 , ,则 ．
3．在等腰直角△ABC中,AB＝BC＝5,P是△ABC内一点,且PA＝ ,PC＝5,则PB＝___ ___．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）设整数 （ ）为三角形的三边长,满足 ,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
①
令 ,则 ,其中 均为自然数.
于是,等式①变为 ,即
②
由于 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的 只有两组： 和
（1）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中,AB＝AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长,交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN,BA＝BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ＝∠ACB,所以MQ//AC.
又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数 的图象经过两点P ,Q .
（1）如果 都是整数,且 ,求 的值.
（2）设二次函数 的图象与 轴的交点为A、B,与 轴的交点为C.如果关于 的方程 的两个根都是整数,求△ABC的面积.
解 点P 、Q 在二次函数 的图象上,故 , ,
解得 , .
（1）由 知 解得 .
又 为整数,所以 , , .
(2) 设 是方程的两个整数根,且 .
由根与系数的关系可得 , ,消去 ,得 ,
两边同时乘以9,得 ,分解因式,得 .
所以 或 或 或
解得 或 或 或
又 是整数,所以后面三组解舍去,故 .
因此, , ,二次函数的解析式为 .
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0）,点C的坐标为（0,2）,所以△ABC的面积为 .
第二试 （B）
一．（本题满分20分）设整数 为三角形的三边长,满足 ,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
解 不妨设 ,由已知等式可得
①
令 ,则 ,其中 均为自然数.
于是,等式①变为 ,即
②
由于 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的 只有两组： 和
（1）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）设 是大于2的质数,k为正整数．若函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值．
解 由题意知,方程 的两根 中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得 ,从而有
①
（1）若 ,则方程为 ,它有两个整数根 和 ．
（2）若 ,则 .
因为 为整数,如果 中至少有一个为整数,则 都是整数.
又因为 为质数,由①式知 或 ．
不妨设 ,则可设 （其中m为非零整数）,则由①式可得 ,
故 ,即 ．
又 ,所以 ,即
②
如果m为正整数,则 , ,从而 ,与②式矛盾.
如果m为负整数,则 , ,从而 ,与②式矛盾.
因此, 时,方程 不可能有整数根．
综上所述, ．
类似问题
类似问题1：求2008年全国初中数学联赛江西省预赛的试题注意：2008年,江西,预赛,
这上面有
类似问题2：全国初中数学联合竞赛（2010年4月11日的那次）考几道题上海只有4月11日那次 我当然是上海的[数学科目]
你哪里的,只有江西,浙江,湖南省才有决赛,初赛已经比完了,莫非你进了决赛,恭喜了,决赛题型和初赛一样,6选择,4填空,大题一般为二次函数,几何,数列,数列很难,高一才学,想做出它,难,
类似问题3：求2000-2009年的全国初中数学联赛试题[数学科目]
时间有限只找到这些 给你个网站自己找
2001年全国初中数学联赛第一试
一、选择题（每小题7分,共42分）
1、a,b,c为有理数,且等式 a + b√2 + c√3 = √(5 + 2√6) 成立,则 2a + 999b + 1001c 的值是（ ）
（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）不能确定
2、若ab≠1,且有 5a2 + 2001a + 9 = 0及 9b2 + 2001b + 5 = 0,则 a/b 的值是（ ）
（A）9/5 （B）5/9 （C）-2001/5 （D）-2001/9
3、已知在△ABC中,∠ACB=900,∠ABC=150,BC=1,则AC的长为（ ）
（A）2 + √3 （B）2 - √3 （C）3/10 （D）√3 - √2
4、在△ABC中,D是边AC上的一点,下面四种情况中,△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）
（A）AD·BC = AB·BD （B）AB2 = AD·AC （C）∠ABD = ∠ACB （D）AB·BC = AC·BD
5、①在实数范围内,一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根为 x = -b/2a ± √(b2-4ac)/2a；②在△ABC中,若 AC2 + BC2 ＞ AB2,则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和△A'B'C'中,a,b,c分别为△ABC的三边,分别为的三边,若a＞a',b＞b',c＞c',则△ABC的面积S大于△A'B'C'的面积S'.以上三个命题中,假命题的个数是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商场对顾客实行优惠,规定：①如一次购物不超过200元,则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
二、填空题（每小题7分,共28分）
1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0,1）,O为坐标原点,∠QPO=1500,且P到Q的距离为2,则Q的坐标为______.
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为 ______ .
3、已知x,y是正整数,并且xy+x+y=23 则x2+y2= ______ .（非原题）
4、一个正整数,若分别加上100和168,则可得到两个完全平方数,这个正整数为 _______ .
2008年全国初中数学联赛
2008年4月13日上午8：30—9：30
一、选择题：（本题满分42分,每小题7分）
1、设a 2 + 1 = 3 a,b 2 + 1 = 3 b,且a ≠ b,则代数式 + 的值为（ ）
（A）5 （B）7 （C）9 （D）11
2、如图,设AD,BE,CF为△ABC的三条高,若AB = 6,BC = 5,EF = 3,则线段BE的长为（ ）
（A） （B）4 （C） （D）
3、从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、在△ABC中,∠ABC = 12°,∠ACB = 132°,BM和CN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上,则（ ）
（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小关系不确定
5、现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10％或20％,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为（ ）
（A）( ) 3 （B）( ) 4 （C）( ) 5 （D）
6、已知实数x,y满足( x – ) ( y – ) = 2008,
则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）
（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1
二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）
1、设a = ,则 = .
2、如图,正方形ABCD的边长为1,M,N为BD所在直线上的两点,且AM = ,∠MAN = 135°,则四边形AMCN的面积为 .
3、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n,且| m | + | n | ≤ 1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q,则| p | + | q | = .
4、依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串：149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 .
答案： B、D、C、B、B、D；– 2、 、 、1.
2003年全国初中数学联赛
一、选择题（本题满分42分,每小题7分）
1. 2√(3-2√2) + √(17-12√2) 等于
A.5-4√2 B.4√2-1 C.5 D.1
2.在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是
A.0 B.1 C.3 D.5
3.若函数 y = kx (k＞0) 与函数 y = 1/x 的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则△ABC的面积为
A.1 B.2 C.k D.k2
4.满足等式 x√y + y√x - √(2003x) - √(2003y) + √(2003xy) = 2003 的正整数对的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
5.设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且 AD/AB = 1/3．若在边AC上取一点E,使四边形DECB的面积为 3/4,则 CE/EA 的值为
A. 1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5
6.如图,在平行四边形ABCD中,过A,B,C三点的圆交AD于E,且与CD相切．若AB=4,BE=5,则DE的长为
A.3 B.4 C.15/4 D.16/5
二、填空题（本题满分28分,每小题7分）
1.抛物线 y = ax2 +bx +c 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形,则ac=__________．
2.设 m 是整数,且方程 3x2 + mx - 2 = 0 的两根都大于 -9/5 而小于 3/7,则 m = ____________．
3.如图 AA',BB',分别是∠EAB,∠DBC的平分线．若 AA' = BB' = AB,则∠BAC的度数为_____________．
4.已知正整数a,b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a,b中较大的数是_________．
2007年全国初中数学联赛
第一试
一、选择题(每小题7分,共42分)
1．已知 满足 则 的值为( )．
(A)1 (B) (C) (D)
2．当 分别取值 2,…,2006,2007时,计算代数式 的值,将所得的结果相加,其和等于( )．
(A)-1 (B)l (C)0 (D)2007
3．设 是 的三边长,二次函数 在 时取最小值 ．则△ABC是( )．
(A)等腰三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)直角三角形
4．已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径．则∠A的度数是( )．
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
5．设K是△ABC内任意一点,△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F．则S△DEF：S△ABC的值为( )．
(A) (B) (C) (D)
6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球．现从袋中摸出15个球,摸出的球中恰好有3个红球的概率是( )．
(A) (B) (C) (D)
二、填空题(每小题7分,共28分)
1．设 , 是 的小数部分, 是 的小数部分．则 .
2．对于一切不小于2的自然数 ,关于 的一元二次方程 的两个根记作 ．则
= .
3．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB=2,BC=CD=10,AD=6,过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E,与CB的延长线交于点F．则BE-BF的值为 .
4．若 和 均为四位数,且均为完全平方数,则整数 的值为 .
第二试
A卷
一、(20分)设 为正整数,且 如果对一切实数 ,二次函数
的图像与 轴的两个交点间的距离不小于 ,求 的值．
二、(25分)如图l,四边形ABCD是梯形,点E是上底边AD上一点,CE的延长线与BA的延长线交于点F．过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,BM与AD交于点N．证明：∠AFN=∠DME．
三、(25分)已知 是正整数．如果关于 的方程 的根都是整数,求 的值及方程的整数根．
B卷
一、(20分)设 为正整数,且 二次函数 的图像与 轴的两个交点间的距离为 ,二次函数 的图像与 轴的两个交点间的距离为 ．如果 对一切实数 恒成立,求 的值.
二、(25分)同A卷第二题．
三、(25分)设 是正整数,二次函数 反比例函数 ．如果两个函数的图像的交点都是整点(横、纵坐标都是整数的点),求 的值．
C卷
一、(20分)同B卷第一题．
二、(25分)同A卷第二题．
三、(25分)设 是正整数．如果二次函数 和反比例函数 的图像有公共整点(横、纵坐标都是整数的点),求 的值和对应的公共整点．
2006年全国初中数学联赛
第一试
一、选择题(每小题7分,共42分)
1．已知四边形ABCD为任意凸四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1,分别表示四边形EFGH的面积和周长．设 ．则下面关于 的说法中,正确的是( )．
(A) 均为常值 (B) 为常值, 不为常值
(C) 不为常值, 为常值 (D) 均不为常值
2．已知 为实数,且 是关于 的方程 的两根．则 的值为( )．
(A) (B) (C) (D)1
3．关于 的方程 仅有两个不同的实根．则实数 的取值范围是( )．
(A)a＞0 (B)a≥4 (C)2＜a＜4 (D)0＜a＜4
4．设 则实数 的大小关系是( )．
(A) (B) (C) (D)
5． 为有理数,且满足等式 ,则 的值为( )．
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20,40,60,80,100,104,…．则这列数中的第158个数为( )．
(A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012
二、填空题(每小题7分,共28分)
1．函数 的图像与 轴交点的横坐标之和等于 ．
2．在等腰 中,AC=BC=1,M是BC的中点,CE⊥AM于点E,交AB于点F,则S△MBF= .
3．使 取最小值的实数 的值为 ．
4．在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)、A(100,0)、B(100,100)、C(0,100)．若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足 .
就称格点P为“好点”．则正方形OABC内部好点的个数为 ．
注：所谓格点,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．
第二试
A卷
一、(20分)已知关于 的一元二次方程 无相异两实根．则满足条件的有序正整数组 有多少组?
二、(25分)如图l,D为等腰△ABC底边BC的中点,E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF=90°．ED=DF=1,AD=5．求线段BC的长．
三、(25分)如图2,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．求证：
(1)O、E、O1三点共线；
(2)
B卷
一、(20分)同A卷第一题．
二、(25分)同A卷第二题．
三、(25分)如图2,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．
(1)求证：O、E、01三点共线；
(2)若 求 的度数．
C卷
一、(20分)同A卷第二题．
二、(25分)同B卷第三题．
三、(25分)设 为正整数,且 ．在平面直角坐标系中,点 和点 的连线段通过 个格点 ．证明：
(1)若 为质数,则在原点O(0,0)与点 的连线段 上除端点外无其他格点；
(2)若在原点O(0,0)与点 的连线段 上除端点外无其他格点,则p为质数．
类似问题4：谁有2010年全国初中数学初赛竞赛江西赛区试题!2009的也行[数学科目]
2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答
第 一 试
一. 选择题（每小题 分,共42分）
、化简 的结果是（ ）．
、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
答案：
, ,
,因此原式 ．
、 是一个等腰直角三角形, 是其内接正方形, 是正方形的对角线交点；那么,由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）．
、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
答案： ．
设 ,图中所有三角形均为等腰直角三角形,其中,斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形；斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形；斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形；共计 对．
、设 ,且函数 与 有相同的最小值 ；
函数 与 有相同的最大值 ；则 的值( ).
、必为正数； 、必为负数； 、必为 ； 、符号不能确定．
答案： .
, ,
由 ,得 ……①
, ；
由 ,得 ……②
②-①得, ,所以 ……③,或 ……④
若 ,则 ；
若 ,据②④, ,即 ,矛盾!
、若关于 的方程 没有实根,那么,必有实根的方程是（ ）．
、 ； 、 ；
、 ； 、 ．
答案: .
解:由方程 无实根,得其判别式 ,于是 ,
方程 的判别式分别是:
, , , ,
显然,对于满足 的每个 值,可以确保 ,但不能保证 非负,（即使得方程 无实根的 的区间与区间 都有重叠部分,而使方程 无实根的 的区间 与区间 无重叠部分）,所以 必有实根,其余方程不一定有实根.
、正方形 中, 分别是 上的点, 交 于 , 交 于 ；若 平分 , ；记 , ,
,则有（ ）.
、 ； 、 ；
、 ； 、 ．
答案:
解:由角平分线, ,即 ,又 的角分线与高重合,则 为等腰三角形, ,作 ‖ ,交 于 ,则 为 的中位线,
∽ , ,所以 .
、将 这八个数分别填写于一个圆周八等分点上,使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数, 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法,那么不同的填法有（ ）．
、 种； 、 种； 种、； 、 种．
答案：
相邻两数和为奇质数,则圆周上的数奇偶相间,于是 的两侧为 ,而 的两侧为 ；剩下两数 必相邻,且 与 之一邻接；考虑三个模块 的邻接情况,得到 种填法．
二、 填空题（每小题7分,共28分）
、若 个连续正整数之和为 ,则 的最大值是 ．
答案： ．
设 ,则 ,
注意 ,而 ,为使 值最大,当把 表成最接近的一对因数之积,为 ,所以 ．
、单位正三角形中,将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去,则三角形剩下部分的面积为 .
答案：
单位正三角形内切圆半径为 ,其面积为 ,而 为其中心,故 ,因此, 与 的相似比为 ,于是每个小圆面积等于 面积的 ,故四个圆面积之和为 ,因此,所求三角形剩下部分的面积为 ．
、圆内接四边形 的四条边长顺次为： ,则四边形的面积为 .
答案： .
由于 ,即 ,所以 与 都是直角三角形,因此,四边形面积 .
、在 中,适当选择+、-号,可以得到不同代数和的个数是 ．
答案： 个．
中,有奇数三个,故其代数和必为奇数；由 可以得到绝对值 的所有奇数：这是由于 , , ,
, , ；以上各式通乘 ,可得 的表达式；
而据题意,表达式中, 及 都必须参与,那么,能得到的整数应是 加或减 ,即得到十二个正奇数 和十二个负奇数 ；因此可表出的数共计 个．
第 二 试
一、（20分）边长为整数的直角三角形,若其两直角边长是方程 的两根,求 的值并确定直角三角形三边之长．
设直角边为 ,（ ）则 ,因方程的根为整数,故其判别式为平方数,设 ,
或 或
解得 (不是整数,舍去),
时,
时,
二、（ 分）如图,自 内的任一点 ,作三角形三条边的垂线：
,若 ；
证明： ．
证：注意如下事实：若四边形的两条对角线互相垂直,则其两组对边的平方和相等．
连 ,则有 ；
, ；
三式相加得 ,
利用条件 ,代入上式,得 ．
三、（ 分）已知 为正整数,且 为有理数,证明 为整数．
证：因 是无理数,则 ,而
为有理数,所以 ,于是
, 因此, 为整数．
类似问题5：2009全国初中数学江西赛区的预赛试题求解1.实数a,b满足 I2a-4l+lb+2l+√[(a+3)b²]+4=2a,求a+b=?[数学科目]
首先楼主题目错了.原题是：
已知非零实数a、b满足|2a-4|+|b+2|+√(a-3)b2 +4=2a,则a+b等于（ ）
A、-1 B、0 C、1 D、2
有题设知a≥3,题设等式化为|b+2|+√(a-3)b =0,于是a=3,b=-2,从而a+b=1,选C