排列与组合原理_王佬蒲同学的作业《排列与组合原理》各个击破_其他_王佬蒲
编辑： admin 2017-25-06
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排列与组合原理导读：
本道作业题是王佬蒲同学分享给同学们的课后拓展作业题目。主要是围绕排列与组合原理知识进行展开问答，目的是各个击破，考核的主要知识点是——《排列与组合原理：排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》，指导老师是米老师，可能与教科书相关的知识点为：排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...，主要考察排列与组合原理：排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...的相关知识考点，下面是王佬蒲的对这道作业的问答方式进行的分享（本道题以问答模式展开）。
题目：排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...
相信你知道了乘法原理了吧?排列p(n,m)表示的是从n个值里取出m个值进行排列.1.组合：取法当然是分m步走了,第一步：从n个里去1个,有n种取法；第二次从剩下的n-1个里取1个,也就是n-1取法.……………………因此有n*(n-1)(n-2)……（n-m+1)中取法,这就是组合的计算公式.接下来对取得的m个值进行排列,这又是一个乘法原理的体现.将m个值取出1个排在第一位,显然有m种取法.在剩余的m-1个值里再取1个,则有m-1个取法,排在第二位……………………因此有m(m-1)(m-2)……1种排列方式.排列公式就是1*2*3*……n=n!组合公式显然就是n!/m!从而得出结论：c(n,m)=p(n,m)/m!排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
以上是我自己组织语言表达的,如果仍然不懂的话,请参考百科知识：互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题
题1： 谁有排列组合的基本计算公式[数学科目]
排列（Pnm(n为下标,m为上标)）排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
Pnm=n×（n-1）.（n-m+1）；Pnm=n!/（n-m）!（注：!是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n!；0!=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标,m为上标)）排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n!/m!（n-m）!；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m题2： 排列组合计算公式13选6个不同的数字有几组,是不是没重复的[数学科目]
C(13,6)=13!/(6!7!)=1716“!”表示阶乘 是没重复的排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
有重复的话 是 13^6题3： 排列组合公式原理组合公式CMN=N!/M!(N-M)为什么要在排列公式的基础上再除以M!,我知道是因为没有排序要求所以要除掉重复的部分,但重复的部分是M!是怎么推算的[数学科目]
你可以反过来想:从M个互不同数中取N个数,组合的种类数是X,排列的种类数是Y,根据加法原理和乘法原理预备定理:排列公式A[M,N]=M!/(M-N)!这个公式用乘法原理很容易证明的.为了求所有排列数Y,我们可以分两步完成:第一步选择N个不同的数,由假设可知,这样的可能数是X,第二步将这N个数进行全排列,根据排列公式:这样的可能数是N!/1=N!,根据乘法原理,Y=X*N!考虑到Y=A[M,N]=M!/(M-N)!排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
所以X=M!/((M-N)!*N!)题4： 排列组合的基本理论和公式[数学科目]
排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关．如231与213是两个排列,2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
(1)加法原理：做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法．排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
(2)乘法原理：做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理；做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
从排列的意义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序必须完全相同,这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时,为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n! (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
从组合的定义知,如果两个组合中的元素完全相同,不管元素的顺序如何,都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
这里要注意排列和组合的区别和联系,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的． 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力. 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同 [例题分析]排列组合思维方法选讲 1．首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有________个. 分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题. 设a,b,c成等差,∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定,排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
又∵ 2b是偶数,∴ a,c同奇或同偶,即：从1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20这十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列,因而本题为2=180.排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道,街道之间的间距相同,如图.若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步,向右走五步,共走八步. （二）每一步是向上还是向右,决定了不同的走法. （三）事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右. 从而,任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确定走法数, ∴ 本题答案为：=56. 2．注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列还是组合排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
例3．在一块并排的10垄田地中,选择二垄分别种植A,B两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不少于6垄,不同的选法共有______种. 分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法. 第一类：A在第一垄,B有3种选择； 第二类：A在第二垄,B有2种选择； 第三类：A在第三垄,B有一种选择, 同理A、B位置互换 ,共12种. 例4．从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的取法有________. (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：显然本题应分步解决. （一）从6双中选出一双同色的手套,有种方法； （二）从剩下的十只手套中任选一只,有种方法. （三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只,有种方法； （四）由于选取与顺序无关,因而（二）（三）中的选法重复一次,因而共240种. 例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列,在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数为_______. 分析：每一纵列中的两人只要选定,则他们只有一种站位方法,因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系,共有三纵列,从而有=90种.排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
例6．在11名工人中,有5人只能当钳工,4人只能当车工,另外2人能当钳工也能当车工.现从11人中选出4人当钳工,4人当车工,问共有多少种不同的选法? 分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏,如何做到这一点?分类的标准必须前后统一. 以两个全能的工人为分类的对象,考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准. 第一类：这两个人都去当钳工,有种； 第二类：这两人有一个去当钳工,有种； 第三类：这两人都不去当钳工,有种. 因而共有185种. 例7．现有印着0,l,3,5,7,9的六张卡片,如果允许9可以作6用,那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数? 分析：有同学认为只要把0,l,3,5,7,9的排法数乘以2即为所求,但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换,因而必须分类. 抽出的三数含0,含9,有种方法； 抽出的三数含0不含9,有种方法； 抽出的三数含9不含0,有种方法； 抽出的三数不含9也不含0,有种方法. 又因为数字9可以当6用,因此共有2×(+)++=144种方法. 例8．停车场划一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空车位连在一起,不同的停车方法是________种. 分析：把空车位看成一个元素,和8辆车共九个元素排列,因而共有种停车方法. 3．特殊元素,优先处理；特殊位置,优先考虑 例9．六人站成一排,求 (1)甲不在排头,乙不在排尾的排列数 (2)甲不在排头,乙不在排尾,且甲乙不相邻的排法数 分析：（1）先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考虑分类. 第一类：乙在排头,有种站法. 第二类：乙不在排头,当然他也不能在排尾,有种站法, 共+种站法. （2）第一类：甲在排尾,乙在排头,有种方法. 第二类：甲在排尾,乙不在排头,有种方法. 第三类：乙在排头,甲不在排头,有种方法. 第四类：甲不在排尾,乙不在排头,有种方法. 共+2+=312种.排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试,至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能? 分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品,并且是最后一个次品,因而第五次测试应算是特殊位置了,分步完成. 第一步：第五次测试的有种可能； 第二步：前四次有一件正品有中可能. 第三步：前四次有种可能. ∴ 共有种可能. 4．捆绑与插空 例11. 8人排成一队 (1)甲乙必须相邻 (2)甲乙不相邻 (3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻,丙丁必须相邻 (5)甲乙不相邻,丙丁不相邻 分析：（1）有种方法. （2）有种方法. （3）有种方法. （4）有种方法. （5）本题不能用插空法,不能连续进行插空. 用间接解法：全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻,共--+=23040种方法. 例12. 某人射击8枪,命中4枪,恰好有三枪连续命中,有多少种不同的情况?排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻,因而这是一个插空问题.另外没有命中的之间没有区别,不必计数.即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列,即.排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
例13. 马路上有编号为l,2,3,……,10 十个路灯,为节约用电又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法共有多少种?排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
分析：即关掉的灯不能相邻,也不能在两端.又因为灯与灯之间没有区别,因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯. ∴ 共=20种方法. 4．间接计数法.(1)排除法 例14. 三行三列共九个点,以这些点为顶点可组成多少个三角形? 分析：有些问题正面求解有一定困难,可以采用间接法. 所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数, ∴ 共种. 例15．正方体8个顶点中取出4个,可组成多少个四面体? 分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数, ∴ 共-12=70-12=58个. 例16. l,2,3,……,9中取出两个分别作为对数的底数和真数,可组成多少个不同数值的对数? 分析：由于底数不能为1. （1）当1选上时,1必为真数,∴ 有一种情况. （2）当不选1时,从2--9中任取两个分别作为底数,真数,共,其中log24=log39,log42=log93, log23=log49, log32=log94. 因而一共有53个. (3)补上一个阶段,转化为熟悉的问题 例17. 六人排成一排,要求甲在乙的前面,(不一定相邻),共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢? 分析：（一）实际上,甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称,具有相同的排法数.因而有=360种. （二）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位,因而前面的排法数重复了种, ∴ 共=120种. 例18．5男4女排成一排,要求男生必须按从高到矮的顺序,共有多少种不同的方法?排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
分析：首先不考虑男生的站位要求,共种；男生从左至右按从高到矮的顺序,只有一种站法,因而上述站法重复了次.因而有=9×8×7×6=3024种. 若男生从右至左按从高到矮的顺序,只有一种站法, 同理也有3024种,综上,有6048种. 例19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行,共有多少种不同的方法? 分析：先认为三个红球互不相同,共种方法.而由于三个红球所占位置相同的情况下,共有变化,因而共=20种. 5．挡板的使用 例20．10个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同的分配方法?排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
分析：把10个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方式.因而共36种. 6．注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合,再做全排列；同样,组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题. 例21. 从0,l,2,……,9中取出2个偶数数字,3个奇数数字,可组成多少个无重复数字的五位数? 分析：先选后排.另外还要考虑特殊元素0的选取. （一）两个选出的偶数含0,则有种. （二）两个选出的偶数字不含0,则有种.排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
例22. 电梯有7位乘客,在10层楼房的每一层停留,如果三位乘客从同一层出去,另外两位在同一层出去,最后两人各从不同的楼层出去,有多少种不同的下楼方法? 分析：（一）先把7位乘客分成3人,2人,一人,一人四组,有种. （二）选择10层中的四层下楼有种. ∴ 共有种. 例23. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数, (1)可组成多少个不同的四位数? (2)可组成多少个不同的四位偶数? (3)可组成多少个能被3整除的四位数? (4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列,问第85项是什么? 分析：（1）有个. （2）分为两类：0在末位,则有种：0不在末位,则有种. ∴ 共+种. （3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来,即先选 0,1,2,3 0,1,3,5 0,2,3,4 0,3,4,5 1,2,4,5 它们排列出来的数一定可以被3整除,再排列,有：4×()+=96种. （4）首位为1的有=60个. 前两位为20的有=12个. 前两位为21的有=12个. 因而第85项是前两位为23的最小数,即为2301. 7．分组问题 例24. 6本不同的书 (1) 分给甲乙丙三人,每人两本,有多少种不同的分法? (2) 分成三堆,每堆两本,有多少种不同的分法? (3) 分成三堆,一堆一本,一堆两本,一堆三本,有多少种不同的分法? (4) 甲一本,乙两本,丙三本,有多少种不同的分法? (5) 分给甲乙丙三人,其中一人一本,一人两本,第三人三本,有多少种不同的分法? 分析：（1）有中. （2）即在（1）的基础上除去顺序,有种. （3）有种.由于这是不平均分组,因而不包含顺序. （4）有种.同（3）,原因是甲,乙,丙持有量确定. （5）有种. 例25. 6人分乘两辆不同的车,每车最多乘4人,则不同的乘车方法为_______. 分析：（一）考虑先把6人分成2人和4人,3人和3人各两组. 第一类：平均分成3人一组,有种方法. 第二类：分成2人,4人各一组,有种方法. （二）再考虑分别上两辆不同的车. 综合（一）（二）,有种. 例26. 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动,每个科技小组至少有一名学生参加,则分配方法共有________种. 分析：（一）先把5个学生分成二人,一人,一人,一人各一组. 其中涉及到平均分成四组,有=种分组方法. （二）再考虑分配到四个不同的科技小组,有种,排列与组合原理：逆火学习站的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
由（一）（二）可知,共=240种.题5： 【排列组合公式一种公式是指排列,从N个元素取R个进行排列(即排序).一种公式是指组合,从N个元素取R个,不进行排列（即不排序）.这两种的区别麻烦高手例题详解第一种排列的公式排序的是】[数学科目]
排列 公式 是 用A来表示的 ,老版教材 是用P的An m（m是上标） =n的阶乘/(n-m)的阶乘组合的公式 是 C 的算了 符号 我不太好打,你自己看一下参考资料里面有详细的公式 排列：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 组合：从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 举个例子,从甲乙丙丁 4人中选择3人如果是排列的话,甲乙丙 与 甲丙乙 乙丙甲 乙甲丙 丙甲乙 丙乙甲 是不相同的 ,就是说要考虑先后顺序 A4 (3是上标) =24如果是组合的话,甲乙丙 与 甲丙乙 乙丙甲 乙甲丙 丙甲乙 丙乙甲排列与组合原理：逆火学习站(img1.72589.com)的王佬蒲同学的作业题：《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》解题思路
排列与组合原理小结：
通过以上关于王佬蒲同学对排列与组合原理：排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...的解题笔记分享，相信同学们已经对排列与组合原理的相关作业考点会有所突破。只有平时多努力，才会有好的成绩，相信通过王佬蒲同学分享的解答《排列组合公式的不同及其原理为什么组合的公式是c(n，m...》的这道作业题不断的各个击破才会突破自我。