如图，△ABC在平面α外，AB∩α=P，AC∩α=Q
编辑： admin 2017-24-02
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证明：P∈AB?面ABC，P∈α?P是面ABC与α的公共点，
同理Q也是面ABC与α的公共点，R也是面ABC与α的公共点
?P、Q、R三点都在面ABC与α的交线上．
提示：
证明：P∈AB⊂面ABC，P∈α⇒P是面ABC与α的公共点，
同理Q也是面ABC与α的公共点，R也是面ABC与α的公共点
⇒P、Q、R三点都在面ABC与α的交线上．
类似问题
类似问题1：如图,三角形ABC在平面α外,AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,求证：P,Q,R三点共线. [数学科目]
方法1：反证法：设PQR,不在一条直线上.
由于这三点是三角形三边与平面的的交集,则这三点必在这个平面内,且在三角形所在平面
说明三角形所在平面与α重叠,说明三角形ABC在α内,与已知“ΔABC在平面α外”矛盾,所以PQR不在一条直线上不成立,即三点共线.
方法2：有题设PQR在三角形三边上（或其延长线上）,则PQR在三角形所在平面上,又在平面α上,这两个平面的交集是一条直线.
PQR是三角形与平面α的交集,所以一定在前述的交集直线上.
类似问题2：三角形ABC的三个顶点在平面α外,AB交α=P,AC交α=R,BC交α=Q.求证：P.Q.R三点共线[数学科目]
因为平面ABC与面α相交而不重合
所以必有且只有一条交线l
因为P在α上也在面ABC上,所以P必在交线l上
同理Q,R也必在交线l上
所以P,Q,R三点共线
类似问题3：如图,三角形ABC在平面a外,AB交a=P,BC交a=Q,AC交a=R,求证P,Q,R三点共线[数学科目]
这个题目描述有问题吧?为啥三角形在平面外还能三边均有交点.
类似问题4：已知三角形ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α与P,Q,R,求证P,Q,R三点共线[数学科目]
△ABC可以确定一个平面,P、Q和R三点都在这个平面上.P、Q、R三点同属于平面α和平面ABC,而平面α和平面ABC的公共部分为一直线,所以P、Q、R三点共线.
类似问题5：已知三角形abc的三个顶点都不在平面A上,它的三边AB,AC,BC的延长线交平面A于P,R,Q三点,求证;P,R,Q三点共[数学科目]
因为P是直线AB和平面A的交点,而AB在平面ABC上,所以P是平面A和平面ABC的公共点,所以P在平面A和平面ABC的交线上.
同理R、Q两点都在平面A和平面ABC的交线上,即P、Q、R三点共线.
另外,你的题目中同一个字母A用在了两个不同的地方,用起来好别扭,而且犯了数学叙述的一个大忌!